Dijkstra’s Algorithm

还是贴伪代码

def dijkstras(source):
    # 初始化最小优先队列，存储节点与该节点到起点的最短距离
    # 设置起点距离为 0，其他节点距离无限
    PQ.add(source, 0) 
    For all other vertices, v, PQ.add(v, infinity)
    while PQ is not empty:
        # 出队剩余未操作节点中距离最短的节点
        p = PQ.removeSmallest()
        relax(all edges from p)
    
def relax(edge p,q):
    if q is visited (i.e., q is not in PQ):
       return
        
    # 若是新路径的距离更短，更新
    if distTo[p] + weight(edge) < distTo[q]:
       distTo[q] = distTo[p] + w
       edgeTo[q] = p
       PQ.changePriority(q, distTo[q])

在图中存在负边的情况下，Dijkstra 算法不能保证正确。这可能有用……但这并不能保证有效。

A*

Dijkstra 算法其实像是以起点为中心，向四面八方进行地毯式搜索。但假如我只是搜索武汉到北京的最短路径，我有必要搜索到西藏地区吗？

当然不会，因为我们知道我们应该向北搜索，而不是转向西南方向。为什么？因为武汉以北的城市会距离北京越来越近，而西南方向的城市会越来越远。

让我们稍微修改一下Dijkstra算法。在Dijkstra的算法中，我们使用 bestKnownDistToV 作为算法中的优先级（也就是说，PQ 选择最小节点的标准是选择已知距离出发点最近的节点）。这一次，我们将使用 bestKnownDistToV + estimateFromVToGoal 作为我们的启发式，换言之，我们先对路上的所有城市到目标的距离经行一个估计，然后以节点到出发点的距离 + 节点到目标距离的估计值作为选择标准。

可以通过这个幻灯片查看 A* 的运行，注意下方 Fringe 的动态，h(v, goal) 是 estimateFromVToGoal

我们的启发式heuristic(v, target)必须满足两个条件：

  1. heuristic(v, target) 必须小于等于 v 到 target 的真实距离

  2. 对于 v 的每个邻居 w:

heuristic(v, target) <= dist(v, w) + heuristic(w, target)

我们姑且把`heuristic(v, target)`认为是 v 到 target 的估计距离吧，上面这句话的意思便是，**v到target的估计距离 不得大于 v到w的距离 与 w到target的估计距离 之和**